Digitale mathematische Aufgaben mit WeBWorK

Im Rahmen des Fellowships für Innovationen in der digitalen Hochschullehre vom Stifterverband und dem Land NRW implementiert Florian Heiderich die Open Source-Übungsplattform WeBWorK an der Universität Siegen. Bei uns im Blog berichtet er über seine Arbeit.

Traditionelle Übungsaufgaben

Übungsaufgaben in der Mathematik? Gehen auch digital! Bild: [https://unsplash.com/photos/05A-kdOH6Hw Antoine Dautry]Übungsaufgaben in der Mathematik? Gehen auch digital! Bild: [https://unsplash.com/photos/05A-kdOH6Hw Antoine Dautry]

Zu mathematischen Vorlesungen an Hochschulen gibt es meist Übungen, die Studierenden die Möglichkeit geben sich aktiv mit den in der Vorlesung präsentierten Themen auseinanderzusetzen und in vielen Fällen erst ein tieferes Verständnis ermöglichen. Traditionell wird in regelmäßigen Abständen (zumeist wöchentlich) ein Übungsblatt von den Dozenten herausgegeben, welches die Studierenden binnen einer Woche bearbeiten sollten. Sofern die personellen Ressourcen es zulassen, geben die Studierenden danach regelmäßig ihre Lösungen der Aufgaben ab und Übungsgruppenleiter korrigieren diese und besprechen sie anschließend in Übungsgruppen. Der Vorteil dieses Verfahrens ist, dass Studierende eine persönliche Rückmeldung in Form der Korrektur erhalten. Ein Nachteil besteht darin, dass diese Rückmeldung mit großer zeitlicher Verzögerung erfolgt. So vergehen zwischen Abgabe der Lösungen und der Rückgabe durch die Übungsleiter meist etwa 8 bis 14 Tage. Zum Zeitpunkt der Rückgabe und Besprechung der Übungsblätter sind die Studierenden gedanklich oft schon mehr mit dem aktuell zu bearbeitenden Übungsblatt beschäftigt. Es wäre daher wünschenswert, wenn die Rückmeldung zeitnaher erfolgen könnte. Aus organisatorischen Gründen ist dies im traditionellen Übungsbetrieb aber oft nicht möglich.

Digitale Übungsaufgaben

Digitalen mathematischen Aufgaben, die Nutzereingaben automatisch korrigieren und bewerten, wohnt dieses Problem nicht inne, da Studierende eine unmittelbare Rückmeldung direkt nach dem Absenden ihrer Lösungen erhalten können. Falls den Studierenden mehrere Versuche zum Lösen einer Aufgabe gestattet sind, können sie eine zunächst nicht korrekte Lösung in weiteren Versuchen korrigieren. Diese Möglichkeit kann man Studierenden im traditionellen Übungsbetrieb normalerweise nicht bieten, da eine erneute Korrektur aus Mangel an Ressourcen normalerweise nicht möglich ist. Außerdem würde sie wieder nur mit erheblicher zeitlicher Verzögerung möglich sein. Digitale mathematische Aufgaben bieten Studierenden hier die Möglichkeit eine zunächst möglicherweise nicht korrekte Lösung zu korrigieren.

Digitale mathematische Aufgaben bringen andererseits eigene Probleme mit sich:

  • Studierende der Mathematik sollten in den ersten Semestern unter anderem die mathematische Sprache erlernen. Wie auch natürliche Sprachen lernt man die mathematische Sprache am effektivsten aktiv. In digitalen mathematischen Aufgaben werden allerdings oft nur "Ergebnisse" von Rechnungen abgefragt und es wird nicht eingefordert, dass Studierende den Lösungsweg vollständig und mathematisch korrekt artikulieren.
  • Auch ist es derzeit in vielen Aufgabensystemen nur eingeschränkt möglich Beweiskompetenz von Studierenden durch digitale Aufgaben zu verbessern und ihren Fortschritt dabei zu überprüfen.
  • Da oft nur Endergebnisse abgefragt werden, wäre es Studierenden auch möglich die Lösungen anderer Studierender zu kopieren, falls alle die gleichen Aufgaben erhalten. Im Falle von traditionellen Hausaufgaben ist häufig eine vollständige handschriftliche Lösung gefragt, was die Kopie einer Lösung erschwert.
  • Eine weitere Herausforderung ist die Eingabe der Ergebnisse. Mathematische Objekte lassen oft viele äquivalente Darstellungen zu. So ist etwa die Ableitungsfunktion $f′$ der reellen Funktion $f$, die durch $f(x)=\frac{1}{3} x^3+x^2+x$ gegeben ist, durch $f′(x)=x^2+2x+1$ oder $f′(x)=(x+1)^2$ darstellbar. Ein digitales Aufgabensystem sollte beide Darstellungen als Antworten auf die Frage nach der Ableitung von $f$ als richtig akzeptieren. Die erwartete Darstellung eines mathematischen Objektes sollte aber auch vom Kontext der Aufgabe abhängen. So sollte etwa bei der Frage nach der Zerlegung des Polynoms $x^2+2x+1$ in Linearfaktoren $(x+1)^2$ als richtige Antwort akzeptiert werden, nicht aber $x^2+2x+1$.

WeBWorK

Die auf mathematische Aufgaben spezialisierte Open Source Aufgabenplattform WeBWorK liefert Lösungen für einen großen Teil dieser Herausforderungen.

  • Aufgaben können randomisiert werden, sodass jeder Studierende eine andere Version einer Aufgabe erhält. Dabei ist der Typ der Aufgabe identisch, konkrete Zahlwerte unterscheiden sich aber. So ist es Studierenden möglich gemeinsam Lösungswege zu erarbeiten, ein bloßes Kopieren der Ergebnisse wird aber verhindert.
  • Eingaben von Studierenden werden von WeBWorK kontextabhängig mathematisch interpretiert. Die Anforderungen an die Eingabe können dabei in jeder Aufgabe festgelegt werden. Studierende können vor dem formellen Absenden ihrer Antwort eine Vorschau der Eingabe erhalten, um zu überprüfen, ob diese von WeBWorK in ihrem Sinne interpretiert wurde.
  • WeBWorK stellt eine Aufgabentechnik bereit, in der Beweise aus vorgegebenen Fragmenten durch Studierende konstruiert werden müssen. So können Studierende in einem gewissen Rahmen Beweiskompetenz entwickeln.
  • Es gibt Anbindungen von WeBWorK an Sage und R, was es ermöglicht umfangreichere Rechnungen in diese Softwaresysteme auszulagern. Ferner können dynamische GeoGebra-Applets in Aufgaben eingebunden werden, wodurch Aufgaben mit interaktiven Visualisierungen angereichert werden können.

Darüber hinaus erlaubt WeBWorK folgende Lernszenarien:

  • Aufgaben können so gestellt werden, dass Studierende auf Wunsch neue Instanzen der Aufgabe erzeugen können. Dies kommt Studierenden entgegen, die für einzelne Aufgaben mehr Übungsbedarf haben.
  • Es können Studierenden Aufgaben abhängig von deren Lernfortschritt zugänglich gemacht werden. So ist es möglich Studierenden, die eine Aufgabe mehrfach falsch beantwortet haben, eine einfachere Aufgabe anzubieten, die sie dann hoffentlich lösen können und die ihnen bei der Bearbeitung der ursprünglichen Aufgabe helfen wird.

Digitale mathematische Aufgaben als Open Educational Ressources

Die Inhalte sind komplett open. Bild: [https://unsplash.com/photos/-kr8XPYuSI8?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText Álvaro Serrano]Die Inhalte sind komplett open. Bild: [https://unsplash.com/photos/-kr8XPYuSI8?utm_source=unsplash&utm_medium=referral&utm_content=creditCopyText Álvaro Serrano]

Eine Herausforderung bei der Implementierung digitaler Aufgabenplattformen wie WeBWorK ist die Notwendigkeit geeignete Aufgaben zu erstellen, was oft mit erheblichem Aufwand verbunden ist. Da das Grundstudium der Mathematik weitgehend standardisiert ist, gibt es große Überschneidungen der Studieninhalte an verschiedenen Hochschulen. WeBWorK wird seit 1996 entwickelt, vor allem in den Vereinigten Staaten von Amerika. Seitdem haben viele Mathematiker die von ihnen erstellten Aufgaben zur freien Verfügung in der sogenannten Open Problem Library veröffentlicht. Diese stellt ein frühes Beispiel von freien Bildungsressourcen (sogenannter Open Educational Ressources) dar, welche derzeit politisch erwünscht sind ([1], [2]). Dank eines Fellowships für Innovationen in der digitalen Hochschullehre hat der Autor mit einem Team von studentischen Hilfskräften während des Jahres 2017 über 1.400 der insgesamt über 35.000 Aufgaben der Open Problem Library ins Deutsche übersetzt. Diese werden die Basis eines deutschsprachigen Schwesterprojektes der Open Problem Library bilden.

Bei der Übersetzung dieser Aufgaben ins Deutsche ergab sich folgende Herausforderung: Für mathematisch identische Objekte werden zum Teil sehr unterschiedliche Bezeichnungen verwendet. Diese stimmen nicht immer mit der vom Verwender benutzten Notation überein. Insbesondere in Veranstaltungen für Studienanfänger möchte man es in der Regel vermeiden Studierende mit zu vielen unterschiedlichen Notationen zu konfrontieren, weil dies eine unnötige zusätzliche Schwierigkeit darstellt. Ein Übersetzer könnte nun die von ihm übersetzten Aufgaben an die von ihm selbst verwendete Notation anpassen. Solange er in zukünftigen Veranstaltungen diese Notation weiterhin verwendet, wäre dies eine für ihn selbst vermutlich zufriedenstellende Lösung. Es ist allerdings zu erwarten, dass Lehrende an anderen Hochschulen andere Notationen bevorzugen. Diese müssten die Aufgaben wieder an ihre Bedürfnisse anpassen. Im Rahmen des Übersetzungsprojektes haben wir uns dafür entschieden für häufig auftauchende mathematische Objekte, für die es verschiedene Notationen gibt, Makros für diese einzuführen. Deren Definition können Lehrende in ihren Kursen lokal einfach ändern, sodass eine Änderung der einzelnen Aufgaben entfällt. Dieses Problem ist sprachunabhängig und so fanden diese Makros inzwischen auch in die Open Problem Library selbst Einzug.

Ferner entdeckten wir bei der Übersetzung hin und wieder mathematische Fehler in den englischsprachigen Aufgaben. Die Open Problem Library wird auf GitHub gehostet und jeder kann Änderungsvorschläge einbringen. So meldeten wir mathematische Fehler in Aufgaben der Open Problem Library an diese zurück und so profitiert auch die englischsprachige WeBWorK-Community von unserem Übersetzungprojekt. Auch haben wir große Unterschiede in der Qualität der existierenden Aufgaben festgestellt. Zur Sicherstellung einer hohen Qualität der deutschsprachigen Aufgabenbibliothek soll daher ein redaktioneller Beirat aufgebaut werden, der die Qualität von zur Aufnahme in die Bibliothek vorgeschlagenen Aufgaben kritisch überprüft, ähnlich dem Peer-Review-Verfahren wissenschaftlicher Zeitschriften.

Einsatz von WeBWorK an der Universität Siegen

Im Wintersemester 2017/18 wird WeBWorK erstmals im Rahmen einer regulären Vorlesung an der Universität Siegen eingesetzt. Im Übungsbetrieb zur Vorlesung “Lineare Algebra 1” wird ein Teil der rechenintensiven Übungsaufgaben mit WeBWorK realisiert, während traditionelle Übungsblätter weiterhin zum Erwerb von Beweiskompetenz zum Einsatz kommen. In diesem Rahmen wurde WeBWorK um wichtige Algorithmen erweitert. So wurden etwa der Euklidische Algorithmus über den ganzen Zahlen und über Polynomringen und auch der Gauß-Algorithmus implementiert. Derartige Erweiterungen sind in WeBWorK einfach möglich und über die Grenzen von Aufgaben hinaus nutzbar.

Literatur

[1] UNESCO. (2012). Paris Declaration on Open Educational Resources. Abgerufen am 05.01.2018 von http://www.unesco.org/new/fileadmin/MULTIMEDIA/HQ/CI/CI/pdf/Events/Engli...

[2] Richtlinie zur Förderung von Offenen Bildungsmaterialien (Open Educational Resources - OERinfo). (2016, Januar). BAnz vom 15.01.2016.

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Kommentare

Mathias Magdowski

Die beschriebenen digitalen Übungsaufgaben sind äußerst interessant. Wir haben kürzlich etwas ähnliches in den Grundlagen der Elektrotechnik versucht. Auf Basis von LaTeX lassen sind an Hand der Matrikelnummer personalisierte Aufgaben für jeden Studierenden erstellen. Für jede Aufgabe wird auch gleich die passende Musterlösung generiert, so dass sich die Studierenden bei anonymer Einreichung Ihrer Lösungen über ein Lernmanagementsystem wie Moodle gegenseitig doppelblind begutachten können (was bei komplexen Aufgaben immer noch besser funktioniert, als die Korrektur den Computer machen zu lassen). Im Idealfall lernen die Studierenden auch noch etwas bei der gegenseitigen Überprüfung.

Hier sind ein paar Folien dazu:

Personalisierbare Aufgaben und anonymer Peer-Review
https://www.slideshare.net/MathiasMagdowski/personalisierbare-aufgaben-u...

Mittlerweile können wir auch Aufgaben mit einen anderen Schaltbild für jeden Studierenden erzeugen, siehe:

https://twitter.com/LehrstuhlEMV/status/950824002246860800